Divisibilité des puissances - Corrigé

Énoncé

Soit \(p\) un nombre premier et \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .

1. Montrer que, si \(p\) divise \(n^2\) , alors \(p^2\) divise \(n^2\) .

2. Montrer que, pour tout \(k \in \mathbb{N}^\ast\) , si \(p\) divise \(n^k\) , alors \(p^k\) divise \(n^k\) .

Solution

1. Supposons que  \(p\) divise \(n^2=n \times n\) . Alors  \(p\)  divise  \(n\) .
En effet, si  \(p\)  ne divise pas  \(n\) , alors  \(\mathrm{PGCD}(p;n)=1\)  et, d'après le théorème de Gauss,  \(p\)  divise  \(n\) , ce qui est absurde.
Par conséquent, il existe un entier \(m \in \mathbb{N}\) tel que \(n=pm\) .
On a alors \(n^2=(pm)^2=p^2m^2=p^2m'\) avec \(m'=m^2 \in \mathbb{N}\) , donc \(p^2\) divise \(n^2\) .

2. Soit \(k \in \mathbb{N}^\ast\) . Supposons que \(p\) divise \(n^k\) . Alors \(p\) divise \(n\) . En effet, montrons par récurrence que, pour tout  \(k \in \mathbb{N}^\ast\) , si  \(p\)  divise  \(n^k\) , alors  \(p\)  divise  \(n\) .

• Initialisation 
  Pour  \(k=1\) , la propriété est immédiate.
  
• Hérédité
  Soit  \(k \in \mathbb{N}^\ast\) tel que, si  \(p\)  divise  \(n^k\) , alors  \(p\)  divise  \(n\) .
  Supposons que  \(p\)  divise  \(n^{k+1}=n \times n^k\) .   Si  \(p\)  ne divise pas  \(n\) , alors  \(\mathrm{PGCD}(p;n)=1\)  et d'après le théorème de Gauss,  \(p\)  divise  \(n^k\) . Par hypothèse de récurrence, on en déduit que  \(p\)  divise  \(n\) , ce qui est absurde. Ainsi,  \(p\)  divise  \(n\) .
  
• Conclusion
  Ainsi, il existe un entier \(m \in \mathbb{N}\) tel que \(n=pm\) .
  

On a alors \(n^{k+1}=(pm)^{k+1}=p^{k+1}m^{k+1}=p^{k+1}m'\) avec \(m'=m^{k+1} \in \mathbb{N}\) ,
donc \(p^{k+1}\) divise \(n^{k+1}\) .